Lo que poco se dice sobre el número áureo y la regla de los tercios.

Por Óscar Colorado Nates*

En la vida fotográfica hay un momento clave: cuando aprendemos que nuestras fotografías deben diseñarse (componerse) de acuerdo con una proporción matemática conocida como la Proporción Áurea. Sin embargo, vale la pena revisarse de dónde ha salido este concepto, por qué lo valoramos tanto y si lo que se repite en las clases fotográficas es totalmente exacto. No es difícil llevarse una sorpresa al indagar más sobre la Proporción Áurea.

Introducción: Una teoría en apuros

Cuando se aprende y enseña sobre la Proporción Áurea se repasa un conjunto de informaciones tales como:

• La pirámide de Guiza y el Partenón fueron realizados con las proporciones del número Phi.
• El origen del número de oro está en Pitágoras quien era adorador de la proporción áurea.
• El número Phi y la Sección de oro están presentes en la naturaleza desde las disposiciones de una caracola marina, los pétalos de las flores y el arreglo de las ramas de los árboles, pasando por la estructura de huracanes y hasta la disposición espiral de galaxias.

En suma, la enseñanza es que existe un equivalente matemático que sintetiza la belleza. De hecho, muchas veces habremos visto o proyectado en una clase de fotografía el clásico fragmento del Pato Donald donde el estudio de Walt Disney explica lo anterior con una facilidad didáctica que, aun hoy, no deja de asombrar. Vale la pena repasarlo:

Y, seguramente, también se ha repasado el siguiente vídeo sobre el tema:

Estas nociones se han transmitido por generaciones a los fotógrafos que inician. Sin embargo, esta regla fotográfica y su historia requieren de una revisión. Académicos como George Markowsky de Harvard), Keith Devlin de Stanford)[1] o Inmaculada López Vilchez de la Universidad de Granada [2] ponen en la mira este concepto que ha sido elevado a las alturas míticas; Araceli Casans Arteaga le ha dedicado al tema una tesis doctoral. En foros filosóficos también se ha discutido el asunto. [3] Son indicios que implican una necesidad de revisar el concepto de la Proporción Áurea, e incluso saber que se ha puesto en duda. ¿Podría estarse enseñando en las clases de fotografía conceptos inexactos que otros han repetido sin parar? Pero una duda así ¿No sería el equivalente fotográfico de dudar que la tierra es redonda?

No debemos dar por hecho nada, sino revisar qué sabemos realmente sobre la proporción dorada, acudir a fuentes primarias, aclarar lo que se ha ido construyendo a lo largo de los siglos y que podría haberse distorsionado o transmitido de forma abiertamente inexacta. En los últimos dos siglos se ha «descubierto» el uso de las proporciones áureas en muchas obras del arte clásico, renacentista y neoclásico, pero Inmaculada López Vilchez advierte que es importante “…diferenciar ante todo, si la presencia de estas pautas constructivas eran intencionadas y buscadas conscientemente por los artistas cuando realizaron sus obras o si bien, se han hecho evidentes a través de un análisis a posteriori que confirma la existencia de ciertas normas reguladoras.”[4]

Embarquémonos, pues, en la aventura de tratar de comprender mejor a la Divina Proporción, aclarando lo que realmente se sabe y diferenciarlo de lo que se ha querido ver. Al final esperamos contar con una visión más clara, o al menos más informada, del panorama.

El número de oro

Comencemos recordando que el la Proporción Áurea ha tenido muchos nombres a lo largo de la historia: Razón áurea, divina proporción, número de oro, razón dorada, media áurea, razón extrema y media, por mencionar algunos.

David Präkel es uno de los muchos autores que establecen la sección áurea como una herramienta fundamental para la composición fotográfica. En su libro «Composición» escribe :

“La sección áurea es una división basada en la proporción el número áureo y se puede utilizar como método para disponer el elemento principal en una imagen o bien para dividir una composición en proporciones agradables. Es más fácil recordar una relación de 5:8 que 1,628, pero en realidad es lo mismo (a veces se utiliza el término para describir dicha división.) Tanto la elección del lugar donde se pone el horizonte como establecer el punto principal de interés o dividir un encuadre en proporciones agradables se puede hacer partiendo de esta relación…”[5]

La idea es pensar en el encuadre como un rectángulo donde las formas, contrastes y pesos deberían corresponder al ideal matemático de la proporción áurea. Esto significa que el punto de interés en el encuadre no debería centrarse, sino colocarse en una disposición similar a la del rectángulo dorado. Así, el punto de interés no debería centrarse sino colocarse en consonancia con la espiral áurea.

La fotografía no es la única disciplina que se ha interesado por la Proporción Dorada; el interés ha transitado por la espiritualidad, la arquitectura, la pintura, la escultura o la música. Para Priya Hemenway: “…la fascinación que el ser humano ha sentido durante muchos siglos por la proporción áurea se debe en gran medida a sus numerosas propiedades interesantes, entre las que destacan la armonía, la regeneración, el equilibrio…”[6]

De los puntos áureos se desprende una simplificación ampliamente conocida como la Regla de los Tercios que explica Peter Ensenberg a continuación:

“Para aplicar la regla de los tercios en una composición, imagine que lo que ve por el visor está dividido en tres partes, tanto en el plano horizontal como en el vertical, muy parecido a un tablero de tres en raya. Use la cuadrícula de la regla de los tercios como guía para organizar los elementos visuales. Coloque el tema principal y otras líneas o elementos importantes de su composición a lo largo de las líneas de la cuadrícula o cerca de los puntos donde estas se cruzan.”[7]

El pato acierta, pero no totalmente

Antes de emprender el camino hasta la antigüedad, habría que repasar que el cortometraje de 27 minutos titulado Donald in Mathmagic Land producido por los Walt Disney Productions en 1959[8] es una obra maestra de la didáctica. Fue la película educativa más influyente en Estados Unidos durante la década de 1960.[9] Dirigida por Hamilton Luske, Les Clark, Wolfgang Reitherman y Joshua Meador se trata de un simpático viaje que procura introducir al espectador por el mundo de las matemáticas de la mano de Donald, pato simpático, aunque gruñón. Con todo lo encantador del filme, el guion de Bill Berg, Heinz Haber y Milt Banta  asume como ciertos algunos datos no verificados y no siempre pone de relieve figuras históricas importantes.

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1.    Grecia: Pitágoras, Platón y Euclides

Pitágoras y su Pentagrama

Famoso por sus aportaciones en el terreno de las matemáticas, Pitágoras fue un filósofo griego hijo de Mnesarco nacido en la Isla de Samos (Grecia, 570 a.C.)[10] tuvo que ver, en realidad, poco con el asunto del número de oro. Este filósofo fundó la Escuela Pitagórica en Crotona (al sur de Italia).

Pitágoras no solamente estudiaba matemáticas, en su escuela abordaba también temas religiosos y  políticos. En la base de su pensamiento había una profunda religiosidad relacionada con los números.

Crotona derrotó a Sybaris en 501 a. C. y las sedes de las escuelas pitagóricas fueron quemadas al tiempo que se exilió a sus miembros señalándoles como culpables de la disputa[11]. Paradójicamente, el exilio provocó la difusión de las enseñanzas pitagóricas.

Las aportaciones de esta escuela en el terreno de las matemáticas fueron de gran importancia y abarcaban la aritmética, la geometría, pero también la música. Sin duda la influencia pitagórica en el desarrollo posterior de las matemáticas fue de gran importancia. Pero Pitágoras no preconizó  los números de la secuencia de Fibonacci (de la que hablaremos más adelante) y, peor aún, ni siquiera conocía nombres como el número de oro ni la divina proporción, denominaciones muy posteriores. De hecho, lo más cercano a las aportaciones de Pitágoras a estos temas se encuentran en el pentágono regular derivado de la estrella de cinco puntas. El Pentagrama místico era tan importante que, efectivamente, se convirtió en la manera de identificar a los miembros de la Escuela Pitagórica. “El Pentagrama místico pitagórico se obtiene a partir de tres triángulos isósceles iguales que tienen los ángulos iguales dobles del ángulo desigual.”[12]

Platón

Platón (428-347 a.C.) era miembro de una familia aristocrática ateniense.[13] A los 20 años conoció a Sócrates quien, como podemos recordar, realmente no dejó ninguna obra escrita,[14] pero le conocemos a través de los diálogos platónicos.

Es, precisamente, en estos intercambios donde apenas se roza la noción de lo bello y el placer, en particular en los diálogos con Filebo y con Timeo.[15] Aunque llegan a mencionar asuntos relacionados con lo que ahora conocemos como Estética, tanto Sócrates como Platón están francamente alejados de cualquier noción que pudiera implicar la divinidad de los números o las proporciones.

Sócrates antepone la sabiduría al placer y al dolor que puede originarse de éste. Porque, para este filósofo, el dolor y el placer se encuentran en el orden de la naturaleza finita, del cuerpo y se encuentra totalmente alejada de la naturaleza divina y del terreno de las ideas que tanto interesa a Platón.

De modo que, en el marco de los diálogos platónicos, hay una mayor preocupación por el mundo de las ideas que por la belleza en las cosas concretas.

Euclides, el verdadero héroe del cuento

Las proporciones y su importancia no se dan con Pitágoras, sino con Euclides.

Euclides era oriundo de Alejandría (325 a.C. al 265 a.C.) y legó un extenso trabajo matemático comprendido en 13 volúmenes titulado “Los Elementos”. [16] En los libros del I al VI Euclides plantea la Geometría Plana. De manera más específica, en el volumen VI, en la proposición 30 explica cómo “…dividir una recta finita dada en media y extrema razón”.[17] Y aunque está explicando cómo encontrar la razón áurea,[18] ni la llama así ni establece -ni por asomo- que sea el ideal matemático de belleza.

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2.    Entre la Edad Media y el Renacimiento: Fibonacci, Pisano, Durero y Leonardo da Vinci

Los conejos de Fibonacci

Leonardo Pisano nació y murió en Pisa (1170-1250 d.C.) se le apodaba Fibonacci (debido la contracción filius Bonacci o hijo de Bonaccio en latín).  Nació en Italia, pero fue educado en el norte de África debido a la posición diplomática de su padre. Vivieron en Bugia (ahora Bejaia) al noreste de Argelia; ahí aprendió Leonardo de Pisa las matemáticas indo-arábigas. [19]

En 1202 escribió su Liber Abaci, obra que incluye más de 200 problemas matemáticos; Fibonacci esperaba mostrar a sus coterráneos las ventajas de la numeración decimal indo-arábiga. Ahí planteó, con fines didácticos, el famoso problema matemático de los conejos:

“Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mesa a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?”[20]

De ahí se desprende la famosa secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584… Cada término es la suma de los dos precedentes. Fibonacci tampoco tenía mayor intención de demostrar una proporción divina que explicara la belleza del mundo, ni impregnó sus problemas matemáticos con un aura místico-esotérica. Como se ve, le preocupaban más los conejos que el misticismo.

Luca Pacioli y su Divina Proporción

Luca Pacioli (1445-1517) fue un religioso franciscano. De origen muy pobre, la vocación monacal de Fra Pacioli tal vez tuvo más que ver con su deseo de instrucción que con el ardor religioso. Hacia 1447 enseñó matemáticas y para 1480 dictaba lecciones de aritmética en la Universidad de Perugia. [21]

Es Luca Pacioli quien atribuye a las proporciones establecidas por Euclides el carácter de “divinas”. Araceli Casans recuerda que “Todavía imbuido del espíritu medieval, y siendo él mismo fraile, Pacioli relaciona las cualidades de la Proporción áurea con la divinidad.”[22] Es importante tomar en cuenta este hecho: la Edad Media está a punto de terminar y abrirse un capítulo nuevo, el del Renacimiento.

La noción de divinidad es una especie de lazo que se extiende a Pitágoras y su escuela religiosa donde prima el ἀριθμός (arithmós, las matemáticas), pasa por Platón quien vinculaba a los números con el Δημιουργός (Dēmiurgós), conformador del mundo. Dice Franco Ferrari que en la visión platónica “…el demiurgo cumple el papel de causa eficiente mientras que el mundo de las ideas constituye la causa paradigmática del cosmos.”[23] De modo que la ligazón entre sacralidad pitagórica, la noción platónica del demiurgo como prefiguración de Dios y la visión religiosa de Luca Pacioli tienen como columna vertebral lo divino.

El propio Fra Pacioli explica: “Paréceme, Excelso Duque, que el título conveniente a nuestro tratado ha de ser el de La Divina Proporción, y ello por numerosas correspondencias de semejanza que encuentra en nuestra proporción, de la que tratamos en este nuestros utilísimos discursos, que corresponden a Dios mismo.”[24]

Antonio Manuel González Rodríguez contextualiza:

“El tratado DE DIVINA PROPORTIONE es el fruto, en gran parte, de los encuentros de Milán, y sobre todo de las discusiones mantenidas con Leonardo da Vinci. Tal vez por ello sea la obra que mejor sintética las preocupaciones estéticas de su autor. La peculiaridad del ambiente que rodeó la corte de Ludovico en los años finales del Quattrocento fue el marco científico y artístico que sirvió de fondo a su reflexión.”[25]

Termina la Edad Media

Curiosamente, no existe evidencia escrita ni testimonio que expliciten con claridad del papel de las matemáticas en el arte antiguo. El tono de todas las reflexiones tiene que ver con la belleza matemática de manera intrínseca, más que con la relación de las matemáticas con la creación artística. Sin embargo, luego de Pacioli esta liga se vuelve más clara porque comienza a dejar rastros en documentos y escritos. Leonardo da Vinci era amigo de Luca Pacioli e incluso realizó algunas ilustraciones para De Divina Proportione, de modo que no es extraño que este genio renacentista fuese un puente para que los artistas de su época rescataran las nociones de la proporción aplicada, de manera más explícita, al arte.

El renacimiento

Las referencias confiables sobre el uso que hicieron los artistas del renacimiento de la Divina Proporción son bastante más escasas de lo que podría pensarse, a excepción de dos menciones explícitas de Leonardo da Vinci y de Alberto Durero.

Leonardo da Vinci

Existe un texto de Leonardo que subrayaba el papel de las proporciones como un elemento fundamental en el arte. En «El tratado de la pintura» establece en el punto XLV que: “…deberá el Pintor dibujar la figura [humana] por la regla de la verdadera proporción…”[26] Leonardo no explicita en este punto nada sobre el número de oro, pero si subraya la importancia de la proporción. Le llama «regla», de modo que ya era un criterio adoptado y elevado a categoría de norma y a la que Pacioli ya le había dado el carácter de Divina.

La espiral de Durero

En 1525 el pintor alemán Alberto Durero (1471-1528) publica su tratado “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”.[27] Se trata de un volumen que expone varias maneras de trazar algunas figuras geométricas, la más famosa de todas es la Espiral de Durero. [28]

En la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Chile se enseña que: “Esta espiral es casi una espiral logarítmica de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.”[29]

Aunque no existe una mención explícita del uso del número de oro por parte de Durero, la autoría de este tratado está más relacionada con su obra artística que con algún interés puramente matemático. De modo que no es difícil pensar que Durero aplicase la espiral dorada en sus pinturas y que la hubiera transmitido a discípulos suyos.

Una joya, según Johanes Kepler

Johanes Kepler (1571-1630) fue un matemático y astrónomo alemán, que pasó a la historia por su planteamiento de las leyes acerca del movimiento de los planetas alrededor el sol.

Kepler aprecia enormemente la proposición euclidiana de la división de una línea entre el extremo y el proporcional a la cual, sugiere “…debemos denominar una joya preciosa.” [30]

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3.    La Proporción Áurea en la era moderna

Desde el punto de vista filosófico, la Era Moderna inicia con Descartes. Su duda sistemática y el indispensable Cogito Ergo Sum (“Soy, luego existo”) abren un capítulo nuevo en la historia del pensamiento. Para desvelar el misterio de la proporción dorada y su valoración actual es fundamental comprender que Descartes inaugura un momento en el que la filosofía se impregna de racionalismo. La ilustración también conforma una forma de pensamiento que implica la división de las ciencias (recordemos que antes todos los saberes se consideraban uno solo y así los fenómenos físicos se encuadraban en la Filosofía de la Naturaleza, por poner un ejemplo).

Para el siglo XIX este racionalismo se entrecruza con la Revolución Industrial. Es el momento en el que aparecen portentos tecnológicos tales como la máquina de vapor, el telégrafo o, desde luego, la fotografía.

En el ánimo intelectual del siglo XIX, el interés por las tipologías y la clasificación llegan a un punto álgido.

Ohm y Barr: De la Tau a la Phi

El nombre de Sección Dorada se debe al matemático alemán Martin Ohm quien la denomina goldener Schnitt o der goldene Schnitt en su libro en su libro Die Reine Elementar-Mathematik (1835).[31] Durante el siglo XIX al número de oro se le identificaba como ταυ (Tau), hasta que Mark Barr le dio el nombre de Φ Phi como homenaje a Phidias (Atenas, 480-430 a.C), el escultor griego más famoso de la historia.[32]

Adolf Zeising y la comodidad de medir la belleza

Adolf Zeising (1810-1876) fue un psicólogo alemán interesado en la filosofía y las matemáticas.[33] Es a este intelectual que se debe el encontrar la proporción dorada en las ramas de las plantas o en la distribución de sus hojas. Luego extendió su investigación para aplicarla a la biología, la química y la geometría de los cristales.

En 1854 Adolf Zeising publica su obra “Nueva doctrina de las proporciones del cuerpo humano”.[34] Es en este momento, fundamental para la construcción del imaginario actúa sobre la Proporción Dorada, cuando Zeising eleva la proporción dorada como gran ordenador y, prácticamente, a nivel de ley universal.

Para Zeising la proporción dorada se convierte en el principio básico de la belleza que permea de un espíritu ideal a todas las cosas ya sean cósmicas o terrenas. En cierta forma, eleva la proporción dorada al terreno de las ideas que planteaba Platón. No olvidemos que el ideal platónico implica que en el mundo de las ideas todo es perfecto, no admiten contrarios y es -claramente- una esperanza utópica, no en balde se le llama un ideal.  

En realidad, Zeising forma parte de una era intelectual donde hay un neoplatonismo muy importante. Así, el tema de la proporción dorada como ideal de la belleza se entremezcla con el neoplatonismo imperante, pero, aún más importante, ofrece en la época del racionalismo un cierto alejamiento del esoterismo místico que enlazaba a Pitágoras con Pacioli para pasar a una explicación racional de la belleza. En el racionalismo, un concepto tan subjetivo y abstracto como la belleza resultaba, indudablemente, incómodo. Nosotros, herederos de este momento intelectual, nos sentimos igualmente irritados ante algo tan poco manejable y subjetivo como la noción de lo bello. Para el racionalismo, el poder medir, tocar y circunscribir lo subjetivo al terreno del logos resulta en un franco alivio. Casans Arteaga nos recuerda que “La «resurrección» del tema de la Divina Proporción a mediados del siglo XIX no surgió de forma caprichosa. Venía gestándose desde el originario pensamiento racionalista.”[35]

De modo que, cuando llega un psicólogo (no un monje, no un griego en túnica) a decir que la belleza se puede medir y tiene un origen racional, se obtiene la fórmula perfecta para dar certezas a una esfera donde lo que prima es la incertidumbre. No es raro, por tanto, que el pensamiento de Zeising hubiera sido seguido por personajes como Gustav Fechner o Le Corbusier.[36]

Además de Zeising hay autores como Möseel, Hamigde o Fechner que también hacen medidas que van de la arquitectura a las composiciones de pinturas, plantas, humanos (desde luego) y hasta fósiles. Como explica López Vilchez, lo hacen “… buscando encontrar en ellas la presencia evidente o subrepticia de unas relaciones entre medidas derivadas de la Sección áurea. La principal pretensión de estos autores consiste en la demostración a través de pruebas documentales, de la existencia de un principio unitario sinónimo de belleza universal.”[37]

Keith Devlin (Stanford) identifica a Adolf Seizing como uno de los autores responsables de la actual híper-valoración que otorgamos a las Proporciones Áureas. [38]

De la anatomía al Partenón: Goodsir & Hay

En Edimburgo, el profesor de anatomía John Goodsir (1814-1867) publicaría sus Memorias Anatómicas[39] que se relacionarían con el pensamiento de Zeising.

Un discípulo de Goodsir, David Ramsey Hay (1798-1866), también había hecho sus contribuciones en sus libros Sobre la figura humana (1849), Principios naturales de belleza (1852) o La ciencia de la Belleza (1856).

David Ramsey Hay también publica en 1873 “The orthographic beauty of the Parthenon referred to a law of nature” [Negritas nuestras]”[40] Es, precisamente en este volumen, donde Hay hace una extensa aplicación del uso de la proporción dorada en el Partenón. Goodsir y Hay ponen las notas finales a la apreciación decimonónica de la Proproción Áurea para dar paso a, valga la redundancia, una época de oro del número de oro.

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4.    Proporción Áurea en el siglo XX

Ghyka: El príncipe que se sintió matemático

Matila Ghyka (1881-1965) fue un príncipe rumano quien, después de la II Guerra Mundial se dedicó a temas de estética.[41] Es una de las figuras más importante en la construcción de un imaginario exacerbado de la Proporción Áurea. Ghyka encuentra en la sección de oro un motivo dominante y lo aplica lo mismo a plantas que organismo marino, lo atribuye por igual a egipcios que góticos, al arte y las matemáticas; le da un origen pitagórico y establece una “cadena dorada” que enlaza a Pitágoras, Platón, Vitruvio, Pacioli, Da Vinci, Kepler, Descartes e incluso a Einstein.

Ghyka publicó Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (París, 1927) y El número de oro (Buenos Aires, 1968).  El primer volumen influye en los artistas del período de entreguerras, pero el autor queda en duda cuando en su segundo volumen del Número de Oro titulado “Los Ritos” enlaza el pentagrama pitagórico con la cábala, los masones y otras sociedades secretas.[42]

Se cuestionó entonces la polémica la participación de este noble rumano en terrenos histórico-ideológicos donde deambula del neopitagorismo alejandrino a una forzada geometría pitagórica.[43]

Ghyla perdió credibilidad por asociar el Número de Oro a nociones esotéricas fantasiosas. A pesar de las críticas, el trabajo de Ghyla (particularmente su primer libro) fue tremendamente influyente.

El uso del número de oro en el arte del siglo XX

Aunque los distintos autores descritos (Ghyla o Hay, por citar dos) se empeñaron en ver en las pirámides de Egipto o el Partenón un uso intencionado de la Divina Proporción, en el fondo no hay evidencias de ningún tipo y todo se resume en la especulación más o menos acertada pero también más o menos fantasiosa de quien quiere ver el número de oro en todas partes.

Sin embargo,  sí hay documentación abundante acerca del uso del número de oro en el arte del siglo XX. Veamos algunos ejemplos:

En 1912 “La Section D’Or” fue una exposición de pintores cubistas, divergentes de Braque y Picasso, que se reunían en el estudio de Jacques Villon. Entre ellos se contaba, además del propio Villon a Picabia, Metzinger, Léger, Gleizes, Delaunay y Duchamp, adscritos al cubismo órfico. Se interesan por la mecánica del movimiento y, desde luego, la sección áurea.[44]

Sergei Eisenstein utilizó la proporción áurea en el montaje de El Acorazado Potemkin (S. M. Eisenstein, 1924) o Kubrick lo aplicó en 2001: A Space Odyssey (Stanley Kubrik, 1968). [45]

Le Corbusier (1897-1965) desarrolló un sistema para la proporción arquitectónica denominado Le Modulor [46] donde buscar retomar la relación de las proporciones entre el edificio y el ser humano y buscaba definir un sistema de medición que pudiera establecer los volúmenes, longitudes y superficies que tuvieran una escala humana.[47]

También emplearon la sección áurea, de manera deliberada (y que ha sido documentado), artistas como Paul Signac,[48] Paul Klee,[49] Max Bill[50], István Béöthy[51], Piet Mondrian,[52] Salvador Dalí o, desde luego, Henri Cartier-Bresson.[53]

El canon fotográfico: La Proporción Áurea y la cámara

Cartier-Bresson y la proporción dorada

Henri Cartier-Bresson fue uno de los fotógrafos más influyentes del siglo XX, que generó algunos de los elementos esenciales del canon fotográficos como el Instante Decisivo. No es extraño que haya sido una figura de primordial importancia para diseminar la aplicación de la proporción áurea en la fotografía.

La notoria obsesión de Cartier-Bresson por la geometría, aprendida en la Academia de André Lhote[54] pasó indudablemente a los fotógrafos de la Agencia Magnum y de ahí pudo diseminarse a todo el mundo fotográfico contemporáneo. Pierre Assouline afirma que Cartier-Bresson soñaba con proporción y diagonales.[55] En buena medida las actuales reglas de composición y criterios de diseño aplicados a la fotografía provienen de las enseñanzas de Cartier-Bresson.

¿Tiene sentido la Proporción Áurea en fotografía?

La fotografía tiene un lenguaje visual, donde las formas, pesos, ritmos y contrastes que se encuentran dentro del encuadre pueden contar con un diseño, un orden que otorga el fotógrafo a partir de su posición y punto de vista. El resultado puede resultar armonioso o caótico.

El ordenamiento de los elementos iconográficos en una fotografía a partir de la Sección Áurea es una posibilidad de ordenamiento, pero no es la única manera de componer una imagen. Existen otras técnicas como el rabatment que se ajusta mejor a proporciones distintas de un clásico rectángulo como es en el caso de encuadres panorámicos, cuadrados o abiertamente circulares. Por otra parte, el centrado del punto de interés en el caso de imágenes simétricas también puede producir un gran placer en el espectador y la belleza de la simetría también ha sido ampliamente estudiada desde una perspectiva científica. Solamente en Google Scholar la búsqueda de belleza y simetría arroja más de 160 mil resultados.

La Proporción Áurea sí tiene un lugar y un sentido en la fotografía. Para comenzar, hoy por hoy se ha convertido en una convención cultural. Es decir, es una manera importante por la cual muchas personas tasan la valía compositiva en una imagen artística.

Por otra, la composición fotográfica que sigue las proporciones áureas ayuda en el mundo del diseño editorial para ofrecer un espacio adecuado para cabezas y cuerpos de texto.  También es una manera efectiva de incorporar a una imagen de un cierto orden y armonía, particularmente importante en el caso de quienes se inician en la fotografía.

¿Y si no se se siguen las Proporciones Áureas?

El artista es dueño de lo que quiere expresar con su imagen y tiene el poder de plasmarlo como mejor le parezca. Tampoco se pude descalificar una fotografía porque su punto de interés no se encuentre siguiendo la Sección Áurea. En la fotografía existen numerosas herramientas a disposición de quien construye le imagen que van desde el punto de vista, altura y posición de cámara o uso deliberado de un cierto tipo de encuadre. Las proporciones áureas son una posibilidad en el arsenal a disposición de un artista, quien tiene la última palabra sobre qué elementos usará.

Pensemos por un momento en el caso de la pintura y artistas que no siguen las Proporciones Áureas, Jackson Pollock y sus famosos drippings. Lo que siempre importa es saber qué ha querido comunicar, expresar, transmitir o plasmar quien genera una imagen (el qué, lo sustantivo) y los procedimientos que ha elegido (el cómo, lo adjetivo). La proporción áurea es una posibilidad que se ha explorado largamente, pero también habrá que pensar que tal vez no se ajuste a las necesidades de todos ni se tenga la obligación de ser usada todo el tiempo. En realidad, todo depende de lo que decida quien hace la fotografía. El tener el conocimiento de la Proporción Áurea le ofrece, desde luego, más posibilidades que quien hace una foto de manera silvestre y sin ningún tipo de conocimiento.

¿Las reglas están para romperse?

La respuesta es materia de toda una discusión aparte. Aunque se puede adelantar que las reglas son posibilidades y herramientas a disposición de un artista. Pero pensemos en la duda cartesiana: Descartes lo ponía en duda todo. Esta actitud permite el crecimiento de la ciencia porque no da nada por hecho, e incluso nos obliga a revisar lo que ya sabemos y podríamos dar por cierto. El caso de este texto obedece a esa duda y a preguntarse: Bueno ¿Y realmente quién dice que la Proporción Áurea es un ideal de belleza? Al cuestionar, se encuentran nuevas informaciones, se reflexiona y se avanza. Y lo mismo es en el arte.

Cuando se camina por un museo de arte moderno, es muy claro cómo cada artista y movimiento rompe, de una manera u otra, con otras convenciones. Estos rompimientos dan origen a nuevas maneras de resolver el hecho artístico. Pensemos en los impresionistas que hoy son tan aceptados pero que en su momento rompieron los cánones. Ni qué decir con el cubismo analítico, la abstracción o las pinturas no figurativas. Incluso el arte de las vanguardias se puso en duda durante el posmodernismo artístico.

El caso de Wes Anderson pone de manifiesto que el uso de otras estrategias de composición, como a simetría, también pueden generar imágenes armoniosas que expresan algo distinto:

De modo que las llamadas reglas fotográficas, entre ellas la Divina Proporción, están a disposición del artista, pero no condicionan, obligan ni limitan a quien desea hacer una creación visual. La elección de quien tiene la cámara en la mano siempre tendrá que ver con una visión, con lo que desea transmitir, y luego emplear los medios a su disposición para actualizar en su trabajo esa visión interior. Entre más herramientas mejor, y entre mejor conocimiento y dominio de ellas mayor control. Para el fotógrafo el tema no es muy distinto del de un fontanero, un médico, un ingeniero o un biólogo: el contar con diferentes maneras de resolver un problema lejos de limitar le potencian.

En la fotografía sí hay un sentido y un lugar para la Proporción Áurea, pero tampoco existe una obligación para usarla. Usar una cámara implica tomar un gran número de decisiones, y una de ellas está en el método compositivo. La Proporción Áurea es una posibilidad, pero siempre hay que recordar que es un medio, y no un fin. Y eso es poner saludablemente en duda las posturas del maestro Cartier-Bresson.

Así como él preconizaba la geometría en la composición, también también negaba tajantemente el reencuadre a posteriori o el empleo de un objetivo que no fuera de 50mm. Si no se tiene cuidado, el empleo de la Sección Áurea puede convertirse en un tema más idiosincrático que en una elección informada acorde al estilo, situaciones y necesidades de cada fotógrafo. Se puede afirmar que el uso de las Proporciones Áureas en fotografía suele funcionar muy bien, del mismo modo que un objetivo de 50mm suele funcionar muy bien. Pero a veces, en ciertas condiciones, hace falta una herramienta diferente. Lo mismo aplica en la composición fotográfica.

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5.    El ataque frontal

George Markowsky vs. el mito

George Markowsky es un importante académico estadounidense: Se graduó con honores de la Universidad de Columbia como licenciado en matemáticas y estudió la maestría y el doctorado en matemáticas por la Universidad de Harvard. Actualmente es académico en la Universidad de Maine.[56]

El Dr. Markowsky chocó frontalmente con los mitos de la proporción dorada en su paper académico Misconceptions about the Golden Ratio publicado por The College Mathematics Journal. Ahí escribe sobre la proporción dorada: “En general, sus propiedades matemáticas están expresadas correctamente, pero gran parte de lo que se presenta en la arquitectura, la literatura, la estética o el arte es falso o engañoso. Desafortunadamente, estas afirmaciones sobre la proporción de oro han alcanzado el estado de conocimiento común y se repiten ampliamente.”[57]

A continuación, se presentan algunas de las discusiones de Markowsky con un breve comentario:

El nombre “Proporción dorada» no se usaba en la antigüedad. Efectivamente, como vimos la denominación se da de manera más clara después del renacimiento, pero no en Grecia y menos en Egipto.

La Gran Pirámide de Guiza no se diseñó con la proporción dorada. Herodoto menciona las dimensiones de la pirámide y en base a esa afirmación se le ha atribuido a la construcción el corresponder a la sección dorada. Empero, como lo demuestran fuentes recientes, las medidas de Herodoto eran incorrectas y, por tanto, la supuesta correspondencia con la Proporción Dorada no existe.

Los griegos no usaron el número de oro en el diseño del Partenón. Christine Flon, citada por Markowsky pone en duda esta supuesta influencia.[58]

Los pintores del renacimiento, entre ellos Leonardo da Vinci, no usaron Phi. En este caso la afirmación del Dr. Markowsky, no es totalmente cierta pues aunque no existan referencias explícitas sí se puede inferir el uso de la Divina Proporción en Leonardo da Vinci y Alberto Durero, como ya se explicó en el apartado correspondiente.

El edificio de las Naciones Unidas no sigue la divina proporción. Markowsky dice no haber encontrado ningún libro o fuente fidedigna que establezca que en el diseño de las Naciones Unidas se utilizó la proporción dorada; nosotros tampoco.

El rectángulo de la proporción dorada no resulta, estéticamente hablando, más atractivo. Markowsky realizó su propio experimento para determinar si un grupo de personas estudiadas prefería el rectángulo con la proporción dorada: Los participantes no correlacionaron belleza con el rectángulo basado en Phi.

Inmaculada López Vilchez en busca de la desmitificación

Por su parte, Inmaculada López Vilchez de la Universidad de Granada también llama a la revisión de lo que asumimos sobre la Proporción Áurea cuando lo elevamos a nivel de mito: “…este halo de misterio y ocultismo ha favorecido el crecimiento del propio mito. Porque el concepto de mito y de mitología que aparece con la Divina Proporción, define con mayor nitidez la idea general que se tiene hoy del mismo. Sea como fuere, resulta anecdótica o cuanto menos llamativa, la proclamación publicitaria que se  fomenta  desde  diversos  autores  cuando se presenta la Divina Proporción como la clave de la belleza o se la ve como el recetario o corolario definitivo de la calidad artística…”[59] y esgrime que “Hoy  en  día,  existe  una  evidente  dificultad  en  discernir  la  fiabilidad de los datos que se mueven entre especulación, realidad, mito, quimera,  investigación, invención, leyenda sin confirmar […] que alimentan el concepto que en la actualidad se tiene de la Divina proporción.” [60]

El silencio de Gombrich

E. H. (Ernst Hans) Gombrich (1909-2001) fue un historiador del arte británico de origen austriaco. Fue uno de los autores de talla internacional más renombrados[61] y se le suele caracterizar como la figura más relevante entre los historiadores recientes del arte. [62] Su libro “La historia del arte” es un clásico que ha tenido más de 16 ediciones y del cual se han vendido más de 7 millones de ejemplares.[63]

Al indagar en “La historia del arte” de Gombrich sobre el número Phi o la Divina Proporción, hay un silencio total: este historiador referente no escribió ni una sola palabra sobre estos tópicos. No menciona el número dorado, ni la proporción áurea. En los capítulos dedicados al arte de la antigüedad, específicamente donde trata el arte de Egipto y Grecia no ha alusión alguna a que la Gran Pirámide o el Partenón hubieran tomado como punto de partida la proporción áurea. ¿Ignorancia? Queda fuera de duda, el hombre era el erudito más importante en materia de historia del arte. Pero, al ser un conocedor del tema, el silencio no pudo ser accidental sino intencional; su obra es un trabajo serio y los tintes de esoterismo, las exageraciones de Ghyka, las forzadas interpretaciones de Hay y las teorías anatómicas de Adolf Seizing son pasadas por alto. ¿Quiso Gombrich desmarcarse del mito y evitar su propagación? No tenemos respuesta al respecto.

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6. A manera de conclusión

¿Todo lo anterior significa que ha de eliminarse de todo curso de fotografía la noción de la proporción áurea? Desde luego no. Es muy claro que sí ha de conservarse el tema, discutirse y exponerse. Es demasiado importante para ser omitido; hay demasiados referentes históricos y figuras de estatura intelectual como Pacioli, Da Vinci, Durero o Kepler que son más importantes que el esoterismo y exageraciones de Ghyka. Tal vez la adopción de los números áureos en la creación vanguardista de las entreguerras haya resultado menos fundada de lo que ellos mismos creían, pero eso no niega la influencia de esta noción matemática en el arte del siglo XX.

Desde un punto de vista cultural, habría que dejar un poco de lado la comodidad de la medida matemática de la belleza porque ya no nos encontramos en un momento de ilustración racionalista como el que se respiraba entre los siglos XVIII y XIX. Hoy comprendemos que la apreciación estética es, además de subjetiva, fruto de un consenso social, intelectual y cultural. Ahí tenemos las miradas confusas de quienes asisten a bienales de arte incapaces de comprender al colectivo intelectual de comisarios, curadores, críticos y autoridades del mundo el arte que se muestran extasiados ante obras que el público en general simplemente no es capaz de comprender. El lego se pregunta ¿Y eso es arte? La respuesta indica que es arte porque decimos que es arte, eso ya nos lo enseñó Marcel Duchamp con La Fontaine en 1917.

En nuestro momento actual realmente no hace falta tener que apelar a las matemáticas para comprobar que algo puede ser bello o en qué grado lo es.

El goce, centro de la belleza y la estética, tal vez podría ser medido, calificado y analizado, pero esa es una actitud más propia del siglo XIX que una necesidad de nuestro tiempo. ¿Acaso no nos resultan, hoy, absurdas las aseveraciones decimonónicas acerca del temperamento y aspecto de los criminales? En el siglo XXI nos resulta más importante encontrar el sentido, el significado del mundo que su orden o clasificación.

De modo que no ha de cuestionarse si se debe o no enseñar la Proporción Áurea en un aula de enseñanza fotográfica, pues la valía y utilidad de este concepto no están en tela de juicio. Dicho lo anterior, vale la pena tener en cuenta las puntualizaciones hechas. Es mejor contar una comprensión más informada sobre la Proporción Dorada que ahonde y enriquezca un tema que, cuando se le da simplemente por hecho, se le reduce. Y el reduccionismo es un error filosófico que la Proporción Dorada no merece.

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* Dr. Óscar Colorado Nates,
(Ciudad de México, 1969)

Académico, crítico, analista y promotor de la fotografía.

Doctor « cum laude» en Ciencias de la Documentación por la Universidad Complutense de Madrid y Máster en Narrativa y Producción Digital por la Universidad Panamericana (Cd. de México) donde es Investigador de Tiempo Completo y Profesor Titular de la Cátedra de Fotografía Avanzada así como Docente de Posgrado en Narrativa y Nuevas Tecnologías. 

Autor de libros como Fotografía 3.0; El Mejor Fotógrafo del Mundo; Instagram, el ojo del mundo; Fotografía de Documentalismo Social; Fotografía Artística Contemporánea; El Mejor Fotógrafo del Mundo y Pensamientos Decisivos: 650 reflexiones fotográficas.

Miembro del Seminario de Imagen y Cultura, la Asociación Mexicana de Estudios de Estética, el Seminario Permanente de Análisis y Crítica Cinematográfica (SEPANCINE) y de The Photographic Historical Society (Rochester, NY), entre otras agrupaciones académicas.

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Las opiniones vertidas en los artículos y producciones audio-visuales son personales.
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Notas

[1] Julia Calderone, «The one formula that’s supposed to “prove beauty” is fundamentally wrong», 5 de octubre de 2015, https://www.businessinsider.com/the-golden-ratio-fibonacci-numbers-mathematics-zeising-beauty-2015-9.

[2] Araceli Casans Arteaga, «Aspectos estéticos de la divina proporción» (Tesis doctoral, Universidad Complutense de Madrid, 2004), 4 de abril de 2019.

[3] Michael Smith, «What are some arguments for the golden ratio making things more aesthetically pleasing?», Respuesta: Conifold, 19 de octubre de 2016, https://philosophy.stackexchange.com/questions/38239/what-are-some-arguments-for-the-golden-ratio-making-things-more-aesthetically-pl/38240.

[4] Inmaculada López Vilchez, «Entre la razón y el mito: arte y ciencia en la divina proporción», Educatio Siglo XXI, n.^o 26 (2008): 267-88. P. 271

[5] David Präkel, Composición, (Barcelona: Blume, 2012). Pág. 22

[6] Hemenway Priya, El Código Secreto. La Misteriosa Fórmula Que Rige El Arte, La Naturaleza y La Ciencia. (Colonia: Evergreen, 2008) p. 5

[7] Peter Ensenberger, La Composición Fotográfica, Enfocando los fundamentos (Barcelona: Marcombo, S.A., 2012) p. 66

[8] «Donald in Mathmagicland», IMdB, accedido 6 de abril de 2019, https://www.imdb.com/title/tt0052751/.

[9] «Donald in Mathmagicland», The Big Cartoon Database, accedido 6 de abril de 2019, https://www.bcdb.com/bcdb/cartoon.cgi?film=4226.

[10] Pedro José Herrero Piñeyro, «Pitágoras», accedido 6 de abril de 2019, https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/pitagor.htm.

[11] Enrique R. Aznar, «Pitágoras, Matemático y filósofo griego (isla de Samos, actual Grecia, h. 582-Metaponto, actual Italia, h. 500 a.C.)», Universidad de Granada, Departamento de Álgebra, accedido 6 de junio de 2019, https://www.ugr.es/~eaznar/pitagoras.htm.

[12] Pedro Miguel González Urbaneja, «La Divina Proporción y el Pentagrama pitagórico.», Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas, 20 de octubre de 2015, https://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Pitagoras13.asp.htm.

[13] «Platón», Webdianoia, Historia de la filosofìa (blog), accedido 6 de abril de 2019, https://www.webdianoia.com/platon/platon_bio.htm.

[14] «Sócrates», Webdianoia, Historia de la filosofìa (blog), accedido 6 de abril de 2019, https://www.webdianoia.com/presocrat/socrates.htm.

[15] Platón, Platón obras completas, vol. 6, 9 vols., Platón, obras completas 6 (Madrid: Gredos, 1999).

[16] «Euclides de Alejandría», Escuela Técnica Superior de Ingenieros Informáticos, Universidad Politécnica de Madrid, s. f., http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/matematica_discreta/web/aritmetica_modular/bio-euclides.html?page=java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/bio-euclides.

[17] Los seis primeros libros, y el undécimo, y Euclides (Madrid: D. Joachin Ibarra Impresor de Cámara de Su Majestad, 1774), https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Los_seis_primeros_libros_y_el_undecimo%2C_y_duodecimo_de_los_elementos_de_Euclides.pdf. Pág. 182

[18] Juan Navarro Loidi, «Los “Elementos” de Euclides», accedido 3 de abril de 2019, http://emoodle.emate.ucr.ac.cr/pluginfile.php/129084/mod_resource/content/1/analisis%20de%20los%20elementos.pdf.

[19] Grimaldi: Ralph P, Matemáticas discreta y combinatoria: Una introducción con aplicaciones (Máxico: Addison-Wesley, 1998). Pág. 456

[20] Alberto Ugarte, Fibonacci y los problemas del liber abaci. (Lulu Com, 2011). Pág. 7

[21] José María Gómez Aroca, «Luca Pacioli», accedido 6 de abril de 2019, http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.htm.

[22] Araceli Casans Arteaga, Op. Cit. Pág. 204

[23] Franco Ferrari, «El “mito” del demiurgo y la interpretación del Timeo», Cuadernos de Filosof{ia, n.^o 60 (2013): 5-15.

[24] Ibídem, Pág. 41

[25] Luca Pacioli, Juan Calatrava, y Antonio M González Rodríguez, La divina proporción (Madrid (España): Akal Editorial, 2008). Pág. 18

[26] Leonardo, Tratado de pintura (Madrid: Akal, 2007). Punto XLV

[27] Albrecht Dürer, Unterweisung der Messung (Munich: München, Süddeutsche Monatsheft, 1908).

[28] «Espirales», Juan Bragado, accedido 6 de abril de 2019, http://www.juanbragado.es/Espirales.html.

[29] «Espirales áureas», Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Centro de modelamiento matemático, Proyecto Nicolás Weinstein Crenovich, accedido 6 de abril de 2019, http://www.dim.uchile.cl/~simetria/matematico/nodo231.html.

[30] Diego Alonso Kurilo, Biblos: Arquitectura Simbólica (Argentina: Sophia Lux, 2014).  P. 152

[31] Michel Spira, «On the Golden Ratio» (Conferencia, 8 de julio de 2012), https://www.mathunion.org/fileadmin/ICMI/Conferences/ICME/ICME12/www.icme12.org/upload/submission/1948_F.pdf.

[32] Bharath Sriraman, Viktor Freiman, y Nicole Lirette-Pitre, Interdisciplinarity, Creativity, and Learning: Mathematics with Literature, Paradoxes, History, Technology, and Modeling (Charlotte, N.C.: Information Age Pub., 2009). Pág. 110

[33] «Adolf Zeising», Revolvy, accedido 6 de abril de 2019, https://www.revolvy.com/page/Adolf-Zeising.

[34] Adolf Zeising, Neue lehre von den proportionen des menschlichen körpers, aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze natur und kunst durchdringenden morphologischen grundgesetze entwickelt und mit einer volständigen historischen uebersicht der bisherigen systeme begleitet (Leipzig: Rudolph Weigel, 1854), https://archive.org/details/neuelehrevondenp00zeis.

[35] Araceli Casans Arteaga. Op. Cit. Pág. 69

[36] «Adolf Zeising», Revolvy, Op. Cit.

[37] Inmaculada López Vilchez, Op. Cit.

[38] Keith Devlin, «Fibonacci and Golden Ratio Madness», Devlin’s Angle (blog), s. f., http://devlinsangle.blogspot.com/2017/04/fibonacci-and-golden-ratio-madness.html.

[39] John Goodsir, The anatomical memoirs of John Goodsir» (Edimburgo: William Turner M.B., 1868), https://archive.org/stream/anatomicalmemoir01gooduoft/anatomicalmemoir01gooduoft_djvu.txt.

[40] David Ramsey Hay, The orthographic beauty of the Parthenon referred to a law of nature. To which are prefixed a few observations on the importance of æsthetic science as an element in architectural education. (Edimburgo: William Blackwood and Sons, 1873), https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo1.ark:/13960/t6qz2th01;view=1up;seq=13.

[41] «Matila Ghyka», Find a grave, accedido 6 de abril de 2019, https://www.findagrave.com/memorial/5903671/matila-ghyka.

[42] Matila Ghyka, El número de oro. Tomo I, los ritmos (Barcelon: Editorial Poseidón, 1968), http://www.holista.es/spip/IMG/pdf/Ghyka_Matila_-_El_Numero_de_Oro_Tomo_I.pdf.

[43] Araceli Casans Arteaga. Op. Cit. Pág. 402

[44] Ana María Preckler, Historia del arte universal de los siglos XIX y XX (Madrid: Editorial Complutense, 2003). Pág. 103

[45] Emily Verba, «The Golden Ratio in Time-based Media», Journal of Arts and Humanities 1, n.^o 1 (agosto de 2012): 56-68.

[46] Le Corbusier, Modulor 2 (Buenos Aires: Poseidón, 1962), https://monoskop.org/images/d/d1/Corbusier_Le_Modulor_2_ES.pdf.

[47] Manuel Hernández Moya, «El Modulor», accedido 6 de abril de 2019, https://www.academia.edu/21249015/El_Modulor_-Le_Corbusier.

[48] Mark Ronan, Symmetry and the Monster: One of the Greatest Quests of Mathematics, 1. publ. as an Oxford Univ. Press paperback (Oxford: Oxford Univ. Press, 2007). Pág. 28

[49] Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, 2015. Pág. 148

[50] Kimberly Elam, Geometry of design: studies in proportion and composition (New York: Princeton Architectural Press, 2001).

[51] Alfred S Posamentier y Ingmar Lehmann, The Glorious Golden Ratio (Amherst, N.Y; Brighton: Prometheus Books ; [Roundhouse [distributor, 2012).

[52] John D Barrow, 100 Essential Things You Didn’t Know You Didn’t Know about Math and the Arts (W. W. Norton & Company, 2015)

[53] Daniel Hofstadter, Temperaments: Memoirs of Henri Cartier-Bresson and Other Artists. (Estados Unidos: Open Road Media, 2015),

[54] Clément Chéroux, Henri Cartier-Bresson, el disparo fotográfico (Barcelona: Blume, 2012).

[55] Assouline Pierre, Henri Cartier-Bresson. A Biography (Londres: Thames & Hudson, 2005) p. 29

[56] George Markowsky, «Dr. George Markowsky», George Markowsky (blog), accedido 6 de abril de 2019, http://geomarkowsky.com/wordpress/.

[57] George Markowsky, «Misconceptions about the Golden Ratio», The College Mathematics Journal 23, n.^o 1 (enero de 1992): 2-19.

[58] Christien Fon, The World Atlas of Architecture, Mitchel Beazley Publishers, 1984 apud George Markowsky.

[59] Inmaculada López Vilchez. Op. Cit. Pág. 285

[60] Ibídem, Pág. 283

[61] Carlos Montes Serrano, «En recuerdo de Sir Ernst H. Gombrich (1909-2001)», EGA. REvista de Expresión Gráfica Arquitectónica., n.^o 7 (2002): 5-10.

[62] Ainhoa Cortea Coscarart, «El enfoque filosófico de la Historia del Arte en E. H. Gombrich», accedido 6 de abril de 2019, http://www.unav.es/users/AinhoaCorteaELEnfoqueFilosoficoHistoria.pdf.

[63] E. H Gombrich, La Historia del arte (New Yok: Phaidon, 2014).

Referencias de investigación

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